Сравнительный анализ учебников по данной теме

п. п. 3 Признаки равенства треугольников

Во всех четырёх учебниках применяется один и тот же подход с использованием аксиомы существования треугольника равного данному. Но нигде ссылок на эту аксиому нет. Доказательства проводятся на основе наглядности с помощью наложения и приложения. В учебнике Погорелова эта аксиома формулируется, но непосредственно при доказательстве на неё ссылки не делаются. Лишь после доказательства первого признака равенства треугольников проводится подробный разбор его с указанием используемых в доказательстве аксиом. Это введено с целью, сделать доказательство более строгим, чем, например доказательство, приведённое у Киселёва. Как нам кажется, именно для этого автор вводит такое нетрадиционное определение треугольника.

Доказательства, приведённые в учебниках Атанасяна и Киселёва аналогичны. Но в учебнике Киселёва, исходя из введенного им определения треугольника, следовало бы ещё доказать, что плоскости треугольников так же совпадут при наложении (о чём в доказательствах даже не упомянуто). В учебнике Атанасяна аксиомы не являются основой, на которой строится школьный курс геометрии (вместе с тем, в приложении в конце учебника подробно изложен вопрос о системе аксиом в курсе геометрии). По нашему мнению, большое преимущество по сравнению с учебным пособием Киселёва, имеет использование в учебнике Атанасяна в качестве основного рабочего аппарата признаки равенства треугольников, а не свойства геометрических преобразований. Такой подход позволяет отработать общие приёмы доказательства теорем. Эти доказательства строятся по схеме: поиск равных треугольников → доказательство предполагаемого равенства → обоснование новых утверждений. Благодаря использованию признаков равенства треугольников легче усваиваются основные теоремы планиметрии (свойства и признаки серединного перпендикуляра, свойства равнобедренного треугольника, теорема о внешнем угле треугольника, свойства и признаки параллельных прямых и параллелограмма, теорема Фалеса, признаки подобия треугольников и т.п.). В учебнике Атанасяна первый признак рассматривается в отрыве от двух других. Это обосновано тем, что он является основой для доказательства свойств равнобедренного треугольника, облегчающих доказательство третьего признака равенства треугольников.

Лишь в учебниках Киселёва и Шарыгина все три признака изучаются последовательно т.к. там не требуется разбивать их для доказательства свойств равнобедренных треугольников.

В учебнике Шарыгина кроме наложения используются ещё и симметрия, что усложняет доказательства. Доказательство третьего признака проводится с использованием элементов построения. Кроме того, применяется движение называемое переносом, но нигде не указано как оно осуществляется и действительно ли переводит одну точку в другую. Кроме трёх традиционных признаков равенства треугольников приводится ещё один для тупого угла и двух не образующих его сторон. Доказательство вытекает из задачи о не существовании треугольника равного данному, если равны две стороны и не содержащийся между ними угол.

п. п. 4 Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников даётся как треугольники, у которых соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Атанасян вводит понятие пропорциональных сходственных сторон. Аналогичное определение приведено в учебнике Киселёва. В учебнике Шарыгина понятие аналогично определению, приведённому у Погорелова, но оно ни как не связано с обозначениями.

Доказательство признаков подобия треугольников в учебнике геометрии А.В. Погорелова основывается на свойствах гомотетии, вывод которых использует формулу расстояния между точками на координатной плоскости и тем самым теорему Пифагора. А теорема Пифагора, в свою очередь, доказывается на основе тригонометрических функций угла, корректность определений которых проверяется с помощью обобщённой теоремы Фалеса, утверждающей, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки. Ясно, что теорема Фалеса является частью признаков подобия, здесь наблюдается нежелательный в методическом отношении отход от поступательного развития курса. Кроме того, при доказательстве теоремы Фалеса процесс измерения отрезков, и в случае, когда отрезки не соизмеримы, осознавание процесса их измерения происходит у учащихся со значительными трудностями. Этот материал занимает время всего курса геометрии в 8 классе. Теорема Фалеса рассматривается в самом начале 8 класса, а признаки подобия в самом конце 8 класса. В этом плане предпочтительнее расположение материала в учебном пособии Киселёва. Но и у него доказательство признаков подобия основано на такой лемме: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. При доказательстве этой леммы рассматриваются отдельно случаи, когда отношение сторон треугольников является либо рациональным, либо иррациональным числом, доказательство усложняется также использованием общей меры и аксиом. А у Атанасяна площади фигур, в отличие от трёх других учебников, рассматриваются раньше, и поэтому удаётся обойти указанную трудность. Фактически она преодолевается один раз при доказательстве свойств пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике. В этом и состоит одно из преимуществ раннего введения понятия площади.

Еще по теме:

Понятие сиротства и социального сиротства
Ребенок, потерявший родителей – это особый, по-настоящему трагический мир. Потребность иметь семью, отца и мать – одна из сильнейших потребностей ребенка. В настоящее время в обыденной речи и в теоретических исследованиях широко используются два понятия: сирота (сиротство) и социальный сирота (соци ...

Место учебной дисциплины «Анализ финансово-хозяйственной деятельности» в структуре подготовки специалиста по данной специальности и анализ рабочей программы
Содержание обучения по специальности «Экономика и бухгалтерский учет» представлено следующими образовательными блоками: Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины Математические и общие естественнонаучные дисциплины Общепрофессиональные дисциплины Специальные дисциплины Проведенный ана ...

Экологическое воспитание дошкольников в современном ДОУ
Самоценность дошкольного детства очевидна: первые семь лет в жизни ребенка - это период его бурного роста и интенсивного развития, период непрерывного совершенствования физических и психических возможностей, начало становления личности. Достижением первых семи лет является становление самосознания: ...