Решение задач выделением 3-х этапов математического моделирования

Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.

Задача.

Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

пусть х км/ч – скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2х км.

Из условия следует, что скорость катера 4х км/ч. За 1,5 ч катер пройдет путь 4х×1,5 км, т.е. 6х км.

Из условия следует, что скорость автобуса равна 2×4х км/ч, 8х км/ч. За 2 ч автобус пройдет 8х×2 км, т.е. 16х км.

Весь путь от А до D равен: 2х+6х+16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2х+6х+16х=120.

Это математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Сложив одночлены 2х, 6х, 16х, получим 24х. Значит, 24х=120, откуда находим х=5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 км/ч. Скорость катера в 4 раза больше, т.е. 20 км/ч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т.е. 40 км/ч.

Ответ: скорость автобуса 40 км/ч.

Задача.

Пункты А, В и С расположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч – скорость пешехода, тогда (х+6) км/ч – скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4(х+6) км; иными словами, АС=4(х+6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6х км, иными словами, ВС=6х.

По условию мы знаем, что пункты А, В и С следуют друг за другом, поэтому АС-ВС=АВ, т.е. АС-ВС=16. Это основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС=4(х+6), ВС=6х; следовательно,

4(х+6)–6х=16.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х+6, получим 4х+24. Во-вторых, придется из двучлена 4х+24 вычесть одночлен 6х:

4х+24-6х=24-2х.

После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

24-2х=16.

Далее имеем:

-2х=16-24,

-2х=-8,

х=4.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Мы получили, что х=4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это, в задаче требуется найти расстояние от В до С. Мы установили, что ВС=6х, значит, ВС=6×4=24.

Ответ: расстояние от В до С равно 24 км.

Задача.

Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда по течению она плывет со скоростью (х+2) км/ч, а против течения – со скоростью (х_2) км/ч.

По течению реки лодка плыла 3ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в км/ч, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин=12/60 ч=1/5 ч=0,2 ч. Значит, 3 ч 12 мин=3,2 ч. За это время со скоростью (х+2) км/ч лодкой пройден путь 3,2(х+2) км.

Против течения лодка плыла 1,5 ч. За это время со скоростью (х-2) км/ч лодкой пройден путь 1,5(х-2) км.

По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем:

3,2(х+2)+1,5(х-2)=41.

Это уравнение – математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с составленной математической моделью.

Как всегда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель – уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнения умножение одночлена 3,2 на двучлен х+2, одночлена 1,5 на двучлен х-2, а затем полученные многочлены сложим:

3,2х+6,4+1,5х-3=41;

4,7х+3,4=41;

4,7х=41-3,4;

4,7х=37,6;

х=8.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х=8.

Еще по теме:

Оснащение телекоммуникациями
Каждый вуз-участник в период действия эксперимента проводил активное развитие телекоммуникационных и информационных систем. Телекоммуникационные каналы, которыми оснащены вузы, можно разделить на два типа – внешние и внутренние, следующим образом: телекоммуникационные каналы (внешние), обеспечивающ ...

Стилевое и лексическое своеобразие художественного языка Виктора Пелевина
Виктор Пелевин автор достаточно противоречивый, несмотря на всю его современную популярность. Вне сомнения, он один самых заметных писателей России. Его творчество нельзя оценивать однозначно. Произведения В.Пелевина принадлежат постмодернистскому направлению современной массовой литературы. Своеоб ...

Виды организационных структур
Управляющая система организации, реализующая функции управления, состоит из многих взаимодействующих звеньев. Для обеспечения порядка их взаимодействия определяются соответствующие связи между ними, распределяются ответственность и подчинение управленческого персонала. Основным принципом построения ...